Pra usar direto do celular com legenda tem o Avia Media Player e o LocalCast for Chromecast, mas nunca testei nenhum dos dois pra video.
O Plex só mostra a mídia do servidor, que no caso é o PC. Até onde sei ele não reconhece a mídia do celular mesmo.
Você instala o Plex Media Server no PC, e ele vai reconhecer toda a mídia que tem no HD, nas pastas que você selecionar. A partir dai, você usa o Plex no celular da mesma rede que o PC está e vai aparecer as mídias. Se não me engano os dois tem que estar logados na conta do Plex pra isso funcionar.
Estranho, aqui não tenho nenhum dos problemas que você mencionou.
Na minha casa antiga, eu tinha um roteador antigo, que ficava no primeiro andar. A TV ficava no segundo, e o Chromecast mal conseguia se conectar. Troquei pra um de 300Mbps WR941ND da TPLink e começou a pegar tudo, mesmo com o roteador no outro andar.
O JustDance eu tava jogando o gratuito mesmo, o pago é absurdo de caro. Cinco músicas por dia pra mim ja tava mais do que bom. Agora eu dei uma parada porque tava voando celular por aí a balde. Minha namorada literalmente isolou o celular na parede, que quase bateu no meu monitor e voou uns 4m de distância... ai tive que cancelar as operações
O espelhamento aqui não perde a conexão. Eu to usando com o Bratv Mobile pra ver alguns canais na TV.
Usar o navegador do cel espelhado também é bom, fica melhor de ler as coisas.
O Chromecast até tem emulador, mas fica uma porqueira... cheio de delay e travado. Ele não foi feito pra fazer o espelhamento da tela, aí fica difícil fazer isso. O Miracast acho que é uma opção melhor pra isso, já que foi feito especificamente pra espelhar a tela.
Vou dar uma olhada no Stick TV, não conhecia. O problema maior dos novos acho que vai ser o suporte pra apps. O Chromecast tá um tempo considerável no mercado e não tem tantos apps assim.
Uma vantagem que eu acho do Chromecast é justamente não ter controle. Ele é mil vezes mais funcional sendo usado pelo smart do que seria por um controle. Se tivesse controle ele seria só mais um "smart" para as TVs normais.
Edit: Uma coisa interessante desse FireTV Stick e do Roku Streaming Stick é que eles tem Wi-Fi Dual-Band, diferente do Chromecast. Pra quem tem roteador dual-band deve dar uma diferença enorme no espelhamento e no geral.